Arco catenário
Vê, Faz, Aprende! - 2ª parte
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1. Constrói uma ponte com as nove peças em borracha. Coloca as peças por ordem numérica. Podes construir a ponte sobre a placa articulada e depois levantá-la
2. Verifica se a ponte pode suportar cargas pesadas
3. Observa a imagem da ponte reflectida no espelho e a corrente suspensa. Coloca as extremidades da corrente à mesma distância que as bases da ponte. Verificarás que a forma da ponte é exactamente igual à da corrente.
4. Esta forma designa-se por catenária (em matemática designa-se por função co-seno hiperbólico).
A ponte em arco e a forma de uma corda suspensa.
Usas um fio ou uma pulseira que se possa abrir? Então realiza esta experiência muito simples: abre o fio e segura-o pelas extremidades, não o estiques, verificarás que a força da gravidade faz com que o fio penda ao meio, e que a sua forma varie consoante o afastamento das extremidades.
Mas que forma é esta? Galileu Galilei pensou que se tratava de uma parábola. Em 1669, Jungius provou que Galileu se tinha enganado (os grandes cientistas fazem grandes erros) e, em 1691, vários matemáticos de renome, encontraram a equação correcta desta curva.
Esta importante curva designa-se por catenária. Em matemática designa-se por função co-seno hiperbólico.
Estica agora o fio. O que vês é uma linha recta?Não! Continua a ser uma catenária, porque para obteres uma linha recta, precisarias de puxar pelas extremidades do fio com uma força infinita (e o fio partir-se-ia, muito antes disso), ou terias que estar no espaço vazio onde não existem campos gravitacionais. Mas até isso é impossível, porque o campo gravitacional da tua massa corporal se estende de forma infinita no espaço.
Embora o fio esticado se assemelhe a uma linha recta, na realidade, é uma catenária que se curva lentamente.
Como é que se acha a equação de uma corrente suspensa? Os pormenores matemáticos são um pouco complicados, mas o princípio é simples.
Considera um elo da corrente; três forças actuam sobre ele: a força da gravitação que o empurra para baixo, e mais duas forças provenientes dos elos adjacentes. Estas duas forças são em parte dirigidas para os lados, mas também integram uma componente vertical, porque os elos adjacentes não estão exactamente ao mesmo nível que o elo em observação.
Estas três forças conjugam-se para produzir uma “força líquida” ou força “resultante”, que actua sobre o elo (para calculares a força líquida, precisas de ter alguns conhecimentos de vectores e como estes se adicionam).
Passemos agora ao ponto-chave do problema. Para isso, precisamos da ajuda da famosa lei de Isaac Newton: F = m a, em que a força (F) e a aceleração (a) são proporcionais. Na equação, “m” representa a massa do elo. Deve assumir-se que todos os elos da corrente têm a mesma massa, porque se um elo fosse muito mais pesado que os outros, não obteríamos uma catenária.
Isto implica que “se” houvesse uma força líquida actuando sobre o elo, o mesmo aceleraria na direcção da força líquida, afastando-se da sua localização actual. Mas vamos assumir que a corrente está imóvel e atingiu uma forma estável, o que implica que todas as forças líquidas que actuam sobre cada elo são iguais a zero. O resto é apenas matemática.
Escrevem-se as equações para cada elo em que a força líquida é igual a zero. Resolvem-se essas equações e obtém-se a equação para a catenária.
Surpreendentemente, estes cálculos também se aplicam aos fios, cordas e cabos. Considera-se que um fio é uma corrente com um número infinito de pequenos elos, sendo o número de equações também ele infinito. Corajosamente, o matemático resolve todas essas equações simultaneamente.
Talvez seja por isso que existe um ramo da matemática designado por análise, ou “cálculo infinitesimal”, em que se trabalha com um número infinito de coisas infinitamente pequenas. As suas bases foram inventadas por Isaac Newton e pelo matemático e filósofo alemão Wilhelm von Leibniz, tendo cada um durante muito tempo reclamado para si a invenção. Na verdade, alguns elementos básicos deste cálculo já eram conhecidos por Aristóteles, na Grécia Antiga.
Não te podes esquecer que, para que tudo o que referimos acima funcione, devemos assumir que a corrente ou cabo é infinitamente flexível, ou seja, que não é necessária nenhuma força para vergar o cabo ou a corrente. Se houver alguma rigidez, obter-se-á uma forma diferente da catenária ideal. As correntes são muito flexíveis porque os elos rolam uns contra os outros, não se verificando quase nenhuma fricção.
Existem milhares de catenárias à nossa volta.
Se gostares de fazer colecções, poderás passar um dia agradável a passear com uma máquina fotográfica ou uma câmara de vídeo e fotografar o maior número de catenárias possível. Eis alguns exemplos:
Os fios e cabos eléctricos suspensos. Os cabos telefónicos (se não tiverem já desaparecido!). Os cabos dos teleféricos. Os cabos de alimentação dos comboios eléctricos e dos eléctricos. As correntes das âncoras e as amarras dos barcos e navios. Vêem-se muitas nos velhos barcos à vela, mas também nas antenas de rádio dos navios modernos. As cordas da roupa (desde que não haja roupa pendurada), os fios das teias de pequenas aranha (um espectáculo fantástico, principalmente quando nelas estão suspensas gotas de água). Os candeeiros de rua suspensos, os cabos suspensos entre os computadores, os candeeiros e as tomadas. As vedações feitas com correntes ou cabos.
Muitas coisas que parecem perfeitamente direitas são, na realidade, catenárias. Considera as pontes em aço ou as cordas de um violino. Tudo o que seja comprido, fino, flexível e esteja suspenso em dois pontos, descreve uma catenária.
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